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一个只有平凡解的n次方程

一个只有平凡解的n次方程

这是一个只有平凡解的n次代数方程。借助Vandermonde行列式,我们可以通过归纳简洁地证明这个方程只有平凡解。

2024-06-02
数学
代数方程 代数几何
格点随机游走的最大期望停时问题

格点随机游走的最大期望停时问题

对于格点上带吸收壁的随机游走,如何给定约束下选择初始位置,使得期望停时最大?

2024-06-02
数学
概率论 Markov链 动态规划
张量 - 理论篇

张量 - 理论篇

如果没有特别指明,以下所讨论的线性空间都是有限维的。 张量积的定义 万有性质 设 \(V,W,Z\) 是域 \(k\) 上的线性空间,\(\mathcal{L}(V,W;Z)\) 表示从 \(V\times W\) 到 \(Z\) 的全体双线性映射构成的线性空间.如果存在一个线性空间 \(V\otimes W\) 和双线性映射 \(\varphi\in\mathcal{L}(V,W;V\otime

2021-07-22
数学
数学 代数 线性代数
预计算辐射率传递

预计算辐射率传递

球谐函数 球谐函数是一族定义在球面的复值函数。设 \(\ell,m\) 是满足 \(-\ell \leq m \leq \ell\) 的整数,\(\ell\) 次 \(m\) 阶球谐函数 \(Y_{\ell}^{m}: S^{2} \rightarrow \mathbb{C}\) 的定义如下 \[ Y_{\ell}^{m}(\theta, \varphi)=\sqrt{\frac{(2 \ell+

2021-04-30
计算机图形
计算机图形 PBR 实时渲染
基于图像的光照

基于图像的光照

基于图像的环境光照,是指用一张图片来存储环境光照的辐射率,并利用这张图片进行着色计算.本文介绍了基于图像的实时环境光照理论,并提供了利用Vulkan实现这一算法的源码和技术细节.

2021-04-27
计算机图形
计算机图形 PBR Vulkan
Yoneda引理

Yoneda引理

Yoneda 引理是范畴论中一个颇具哲学色彩的定理,Dan Piponi 称它为“数学中最难的平凡之物”.本文尝试用清晰明了、符合动机、图文并茂的方式叙述并证明 Yoneda 引理,同时介绍它的重要推论 Yoneda 嵌入和可表函子.

2021-01-29
数学
数学 代数 范畴论
体积渲染

体积渲染

体积渲染不仅要考虑光线与物体表面的交互,还要考虑与空间中大量微粒的交互。本文介绍了体积渲染的一般理论,导出了积分方程形式的光线传输方程,最后给出了实时体积渲染的实例。

2021-01-17
计算机图形 PBR 体积渲染
微分流形

微分流形

流形的基本概念 拓扑流形 定义 \(n\) 维 拓扑流形是局部同胚于 \(n\) 维欧式空间的Hausdorff 拓扑空间. 所谓“局部同胚于 \(n\) 维欧式空间”,就是说任取拓扑空间 \(M\) 中一点 \(p\),存在 \(p\) 的一个邻域 \(N(p)\),使得 \(N(p)\) 与欧式空间 \(\mathbb{R}^n\) 同胚. 坐标

2020-12-04
数学
数学 几何 微分流形
基于位置的动力学

基于位置的动力学

算法描述 物体的动力学可由 \(N\) 个顶点和 \(M\) 个关于顶点位置的约束进行描述.第 \(i\) 个顶点的质量、位置、速度分别记作 \(m_i,\mathbf{x}_i,\mathbf{v}_i\).第 \(j\) 个约束可能为等式或不等式,记作 \[ C_{j}(\mathbf{x}_{1}, \cdots, \mathbf{x}_{N})=0\quad \text{或}\quad C

2020-11-22
计算机图形
计算机图形 物理模拟 PBD
路径追踪渲染算法

路径追踪渲染算法

光线传输方程 基本形式 之前我们已经见过了反射方程 \[ L_o(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_o)=\int_{H^2}f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)L_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)\co

2020-10-13
计算机图形
计算机图形 PBR
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