张量 - 理论篇 如果没有特别指明，以下所讨论的线性空间都是有限维的。 张量积的定义 万有性质 设 \(V,W,Z\) 是域 \(k\) 上的线性空间，\(\mathcal{L}(V,W;Z)\) 表示从 \(V\times W\) 到 \(Z\) 的全体双线性映射构成的线性空间．如果存在一个线性空间 \(V\otimes W\) 和双线性映射 \(\varphi\in\mathcal{L}(V,W;V\o 2021-07-22 数学 数学 代数 线性代数
预计算辐射率传递 球谐函数 球谐函数是一族定义在球面的复值函数。设 \(\ell,m\) 是满足 \(-\ell \leq m \leq \ell\) 的整数，\(\ell\) 次 \(m\) 阶球谐函数 \(Y_{\ell}^{m}: S^{2} \rightarrow \mathbb{C}\) 的定义如下 \[ Y_{\ell}^{m}(\theta, \varphi)=\sqrt{\frac{(2 \ 2021-04-30 计算机图形 计算机图形 PBR 实时渲染
基于图像的光照 基于图像的环境光照，是指用一张图片来存储环境光照的辐射率，并利用这张图片进行着色计算．本文介绍了基于图像的实时环境光照理论，并提供了利用Vulkan实现这一算法的源码和技术细节． 2021-04-27 计算机图形 计算机图形 PBR Vulkan
Yoneda引理 Yoneda 引理是范畴论中一个颇具哲学色彩的定理，Dan Piponi 称它为“数学中最难的平凡之物”．本文尝试用清晰明了、符合动机、图文并茂的方式叙述并证明 Yoneda 引理，同时介绍它的重要推论 Yoneda 嵌入和可表函子． 2021-01-29 数学 数学 代数 范畴论
体积渲染 体积渲染不仅要考虑光线与物体表面的交互，还要考虑与空间中大量微粒的交互。本文介绍了体积渲染的一般理论，导出了积分方程形式的光线传输方程，最后给出了实时体积渲染的实例。 2021-01-17 计算机图形 PBR 体积渲染
微分流形 流形的基本概念 拓扑流形 定义 \(n\) 维 拓扑流形 是局部同胚于 \(n\) 维欧式空间的 Hausdorff 拓扑空间． 所谓“局部同胚于 \(n\) 维欧式空间”，就是说任取拓扑空间 \(M\) 中一点 \(p\)，存在 \(p\) 的一个邻域 \(N(p)\)，使得 \(N(p)\) 与欧式空间 \(\mathbb{R}^n 2020-12-04 数学 数学 几何 微分流形
基于位置的动力学 算法描述 物体的动力学可由 \(N\) 个顶点和 \(M\) 个关于顶点位置的约束进行描述．第 \(i\) 个顶点的质量、位置、速度分别记作 \(m_i,\mathbf{x}_i,\mathbf{v}_i\)．第 \(j\) 个约束可能为等式或不等式，记作 \[ C_{j}(\mathbf{x}_{1}, \cdots, \mathbf{x}_{N})=0\quad \text{或} 2020-11-22 计算机图形 计算机图形 物理模拟 PBD
路径追踪渲染算法 光线传输方程 基本形式 之前我们已经见过了反射方程 \[ L_o(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_o)=\int_{H^2}f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)L_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega} 2020-10-13 计算机图形 计算机图形 PBR
基于物理的渲染 - 表面反射 双向反射分布函数 考虑一张反射平面，在点 \(\mathbf{p}\) 处来自入射光的辐照度可以表示成 \[ E_i(\mathbf{p})=\int_{H^2} L_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)\cos\theta_i\:d\Omega_i, \] 其中 \(d\Omega_i=\sin\theta_i\: d\theta_i\:d\phi 2020-10-13 计算机图形 计算机图形 PBR
重要性采样 Monte Carlo 积分方法 Monte Carlo 积分方法是一种求解定积分的数值方法．假定需要计算的是下面的积分 \[ I=\int_a^b f(x)dx. \] 先选取一个连续型随机变量 \(X\)，要求其概率密度函数 \(p(x)\) 满足 \[ \forall x\in[a,b],\quad p(x)>0. \] 然后令 \(Y=g(X)=\frac{f(X 2020-10-13 计算机图形 计算机图形 采样理论
