问题描述

\[ \left(\begin{array}{c} a_1+a_2 +\cdots +a_n=0 \\ a_1^2+a_2^2 +\cdots+ a_n^2=0 \\ \vdots \\ a_1^n+a_2^n +\cdots+ a_n^n=0 \end{array}\right. \]

证明: 在复数域上 \(a_1, \cdots, a_n\) 只有平凡解 \(a_1=a_2=\cdots=a_n=0\)。

证明

可以把这些lambda看成n元线性方程组的系数，记作\(A\)。这个题是证如果\(Ax=0\)，其中\(x=(1,1,...,1)^T\)，那么\(A=0\)。但更一般地，把\(x\)换成任何一个各分量非0的向量也没问题。

如果\(Ax=0\)，\(A\)的行列式一定为0。根据Vandermonde行列式的知识，要么至少有一个lambda为0，这时n元退化成n-1元，要么有两个lambda相等：\(a_i=a_j\)，这时n元也退化成n-1元。所以对n归纳就可以证明。

解的重数

如果直接看成古典代数几何里求解代数方程，那么Gröbner basis是一个一般的算法，Hilbert series可以给出零点的重数为\(n!\)。