如果没有特别指明，以下所讨论的线性空间都是有限维的。

张量积的定义

万有性质

设 \(V,W,Z\) 是域 \(k\) 上的线性空间，\(\mathcal{L}(V,W;Z)\) 表示从 \(V\times W\) 到 \(Z\) 的全体双线性映射构成的线性空间．如果存在一个线性空间 \(V\otimes W\) 和双线性映射 \(\varphi\in\mathcal{L}(V,W;V\otimes W)\)，满足以下万有性质：对任意 \(g\in \mathcal{L}(V,W;Z)\)，存在唯一的线性映射 \(h:V\otimes W\to Z\)，使得 \(g=h\circ f\)，即下图交换

那么这个线性空间 \(V\otimes W\) 称做 \(V\) 和 \(W\) 的张量积。

构造

设 \(V\times W\) 自由生成的线性空间为

\[ \mathrm{Free}_{\mathsf{Vect}_{k}}(V\times W)=\left\{\sum_{i,j}a_{ij}(v_i,w_j)\mid a_{ij}\in k,v_i\in V,w_j\in W\right\}. \] \[ S_1=\left\{(\lambda v_1+v_2,w)-\lambda(v_1,w)-(v_2,w)\mid \lambda\in k, v_1,v_2\in V, w\in W\right\}, \] \[ S_2=\left\{(v,\lambda w_1+w_2)-\lambda(v,w_1)-(v,w_2)\mid \lambda\in k, v\in V, w_1,w_2\in W\right\} \] 是 \(\mathrm{Free}_{\mathsf{Vect}_{k}}(V\times W)\) 的 2 个子空间。按如下交换图所示

我们定义 \[ V\otimes W:=\mathrm{Free}_{\mathsf{Vect}_{k}}(V\times W)/\left(S_1\oplus S_2\right) \] 以及 \(f=\pi\circ i\). 因为 \[ \begin{aligned} f(\lambda v_1+v_2,w)&=\pi(\lambda v_1+v_2,w)\\ &=(\lambda v_1+v_2,w)-\left((\lambda v_1+v_2,w)-\lambda(v_1,w)-(v_2,w)\right)\\ &=\lambda(v_1,w)+(v_2,w)\\ &=\lambda f(v_1,w)+f(v_2,w), \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} f( v,\lambda w_1+w_2)&=\pi( v,\lambda w_1+w_2)\\ &=(v,\lambda w_1+w_2)-\left((v,\lambda w_1+w_2)-\lambda(v,w_1)-(v,w_2)\right)\\ &=\lambda(v,w_1)+(v,w_2)\\ &=\lambda f(v,w_1)+f(v,w_2), \end{aligned} \]

我们知道 \(f\) 确实是一个双线性映射。根据自由生成线性空间和商空间的万有性质，我们有 \(g=\varphi\circ i\) 以及 \(\varphi=h\circ \pi\)，由此可推出 \(g=h\circ f\)。最后只需要说明 \(h\) 的唯一性。假设线性映射 \(h':V\otimes W\to Z\) 也能使 \(g=h'\circ f\)。注意到 \(g=(h'\circ \pi) \circ i=\varphi\circ i\)，自由生成线性空间的万有性质告诉我们 \(h'\circ \pi=\varphi\)。再利用商空间的万有性质，我们知道 \(h'=h\)，即 \(h\) 的唯一性得证。综上，我们证明了如此构造的 \(V\otimes W\) 满足张量积的万有性质。

这里构造的张量积映射 \(f\) 习惯上记作 \(\otimes\)，即 \(f(v,w)=v\otimes w\)。

张量积的性质

可表函子

定义函子 \[ L(V,W;-): \mathsf{Vect}_{k} \to \mathsf{Vect}_{k} \] 其对象映射为 \[ \begin{aligned} L(V,W;-):\mathrm{Ob}(\mathsf{Vect}_{k})&\longrightarrow\mathrm{Ob}(\mathsf{Vect}_{k})\\ Z& \longmapsto L(V,W;Z), \end{aligned} \] 态射映射为 \[ \begin{aligned} L(V,W;-):\mathrm{Hom}_{\mathsf{Vect}_{k}}(Z_1,Z_2)&\longrightarrow\mathrm{Hom}_{\mathsf{Vect}_{k}}(L(V,W;Z_1),L(V,W;Z_2))\\ f& \longmapsto \left(g\longmapsto f\circ g\right). \end{aligned} \] \(L(V,W;-)\) 是一个可表函子。具体来说，\(\theta: L(V,W;-)\to \mathrm{Hom}_{\mathsf{Vect}_{k}}\left(V\otimes W,-\right)\) 是一个自然同构，定义为 \[ \begin{aligned} \theta_Z:L(V,W;Z)&\stackrel{\approx}\longrightarrow\mathrm{Hom}_{\mathsf{Vect}_{k}}\left(V\otimes W,Z\right)\\ g& \longmapsto\left(v\otimes w\stackrel{h}\longmapsto g(v,w)\right) . \end{aligned} \]

伴随函子

设 \(V\) 是一个线性空间。以下我们将函子 \(\mathrm{Hom}_{\mathsf{Vect}_{k}}\left(V,-\right)\) 简记为 \(\mathrm{Hom}\left(V,-\right)\)。如下图所示，

\((-)\otimes V\) 是 \(\mathrm{Hom}_{\mathsf{Vect}_{k}}\left(V,-\right)\) 的左伴随。具体来说， \[ \eta: \mathrm{Hom}\left((-)\otimes V,-\right)\to \mathrm{Hom}\left(-,\mathrm{Hom}\left(V,-\right)\right) \]
是一个自然同构，定义为 \[ \begin{aligned} \eta_{U,W}:\mathrm{Hom}\left(U\otimes V,W\right)&\stackrel{\approx}\longrightarrow\mathrm{Hom}\left(U,\mathrm{Hom}\left(V,W\right)\right)\\ h& \longmapsto\left(u\longmapsto h\left(u\otimes -\right)\right) . \end{aligned} \]

张量积的维数

引理．设 \(V\) 和 \(W\) 是向量空间，\(v_1,\cdots,v_n\in V\) 线性无关，\(w_1,\cdots,w_m\in W\)。如果 \[ \sum_i v_i\otimes w_i=0, \] 则 \(w_1=\cdots=w_m=0\)。

证明． 定义 标准配对 或 取值函数 如下 \[ \begin{aligned} \langle -,-\rangle:V\times V^*&\longrightarrow k\\ (v_1,v_2^*)&\longmapsto v_2^*(v_1). \end{aligned} \] 任给 \(\alpha^*\in V^*, \beta^*\in W^*\)，可以验证如下定义的映射 \[ \begin{aligned} \langle \cdot,\alpha^*\rangle \langle \cdot,\beta^* \rangle:V\times W&\longrightarrow k\\ (v,w)&\longmapsto \langle v,\alpha^*\rangle \langle w,\beta^* \rangle=\alpha^*(v)\beta^*(w) \end{aligned} \] 是一个双线性映射。根据张量积的万有性质，存在唯一的双线性映射 \(h:V\otimes W\to k\) 使得 \(h(v\otimes w)=\alpha^*(v)\beta^*(w)\)。注意到 \[ \begin{aligned} 0&=h\left(\sum_i v_i\otimes w_i\right)\\ &=\sum_i h(v_i\otimes w_i)\\ &=\sum_i \alpha^*(v_i)\beta^*(w_i)\\ \end{aligned} \] 对任意的 \(\alpha^*\in V^*, \beta^*\in W^*\) 成立。对 \(k=1,\cdots, n\), 分别令 \(\alpha^*(v_i)=\delta_{i,k}\)，则可以分别得到 \[ \begin{aligned} \beta^*(w_k)=0,\quad\forall \beta^*\in W^*\implies w_k=0. \end{aligned} \] 这就证明了引理。\(\square\)

利用引理，我们可以求出张量积的维数。事实上，设 \(B_V=\{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\}\) 和 \(B_W=\{\eta_1,\dots,\eta_m\}\) 分别是线性空间 \(V\) 和 \(W\) 的基。我们可以证明 \(B_{V\otimes W}=\{\varepsilon_i\otimes\eta_j\mid i=1,\cdots,n,j=1,\cdots,m\}\) 是 \(V\otimes W\) 的一个基。一方面，如果 \[ 0=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^ma_{ij}\varepsilon_i\otimes\eta_j=\sum_{i=1}^n \varepsilon_i\otimes\left(\sum_{j=1}^m a_{ij}\eta_j\right), \] 引理表明 \[ \sum_{j=1}^m a_{1j}\eta_j=\sum_{j=1}^m a_{2j}\eta_j=\cdots=\sum_{j=1}^m a_{nj}\eta_j=0. \] 又因为 \(\{\eta_1,\dots,\eta_m\}\) 线性无关，所以 \(a_{ij}=0\)。因此，\(B_{V\otimes W}\) 线性无关。另一方面，任给 \(\sum_{k}\lambda_kv_k\otimes w_k\in V\otimes W\)，设 \(v_k=\sum_{i}a_{ki}\varepsilon_i\)，\(w_j=\sum_{j}b_{kj}\eta_j\), 则有 \[ \begin{aligned} \sum_{k}\lambda_kv_k\otimes w_k&=\sum_{k}\lambda_k\left(\sum_{i}a_{ki}\varepsilon_i\right)\otimes\left(\sum_{j}b_{kj}\eta_j\right)\\ &=\sum_{i}\sum_{j}\sum_{k}\lambda_k a_{ki}b_{kj}\varepsilon_i\otimes\eta_j. \end{aligned} \]

这表明 \(B_{V\otimes W}\) 能张成 \(V\otimes W\)。因此，\(B_{V\otimes W}\) 是 \(V\otimes W\) 的一个基。由此，我们可以得到张量积的维数 \[ \dim(V\otimes W)=\dim(V)\dim(W). \]