球谐函数

球谐函数是一族定义在球面的复值函数。设 \(\ell,m\) 是满足 \(-\ell \leq m \leq \ell\) 的整数，\(\ell\) 次 \(m\) 阶球谐函数 \(Y_{\ell}^{m}: S^{2} \rightarrow \mathbb{C}\) 的定义如下

\[ Y_{\ell}^{m}(\theta, \varphi)=\sqrt{\frac{(2 \ell+1)}{4 \pi} \frac{(\ell-m) !}{(\ell+m) !}} P_{\ell}^{m}(\cos \theta) e^{i m \varphi}, \]

其中

\[ P_{\ell}^{m}(x)=(-1)^{m} \cdot 2^{\ell} \cdot\left(1-x^{2}\right)^{m / 2} \cdot \sum_{k=m}^{\ell} \frac{k !}{(k-m) !} \cdot x^{k-m} \cdot{\ell\choose k}{\frac{\ell+k-1}{2}\choose \ell}, \]

为伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials）.

可以验证，球谐函数 \(Y_{\ell}^{m}: S^{2} \rightarrow \mathbb{C}\) 是 Hilbert 空间 \(L_{\mathbb{C}}^{2}\left(S^{2}\right)\) 上的标准正交基。因此，\(L_{\mathbb{C}}^{2}\left(S^{2}\right)\) 里的任意函数 \(f(\theta, \varphi)\) 都可以表示成球谐函数的线性组合，即

\[ f(\theta, \varphi)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} f_{\ell}^{m} Y_{\ell}^{m}(\theta, \varphi) \]

漫反射物体

对于表面只存在漫反射的物体，反射方程可以写作

\[ \begin{aligned} L_o(\boldsymbol{\omega}_o)=\frac{\mathrm{base\_color}}{\pi} \int_{H^2}L_i(\boldsymbol{\omega}_i)V(\boldsymbol{\omega}_i)\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\omega}_i \:d\Omega_i, \end{aligned} \]

其中 \(V(\boldsymbol{\omega}_i)\) 为可见性函数。为简化起见，我们假设 \(L_i(\boldsymbol{\omega}_i)\) 是环境光照。